回忆卡尔·门格尔

我与门格尔的第一次接触是在他以自己的书为教材的课堂上. 我非常喜欢这门课和他的书，所以我读了整本书, 不仅仅是课程中涵盖的材料，还列出了错误清单. 大多数错误都是小错误，但清单很长.

现在我面临着一个两难的境地:我想让他知道这些错误，但又不好意思去他的办公室见他. 在那些日子里，教授就是国王. (When I was a student the professor was king; later when I became a professor the student was king.在那个时代，没有几个学生有胆量不经邀请就去教授的办公室.

在威尔考克斯教授给我的大学代数课上得了D之后，我一遍又一遍地检查我的期末考试，并让其他人帮我检查, 没有办法解释这么低的分数. 最后，有人提醒我，威尔考克斯把课堂上发给我们的笔试题目改了，而且没对全班说什么就把改好的题目写在黑板上了. 我从来没有注意到这些变化，甚至在交试卷的时候也没有. 虽然这个D几乎让我留校察看，但我从来没有和威尔考克斯讨论过这件事. 我提到这一点是为了让读者知道我有多害羞.

尽管如此，我还是鼓起勇气，带着相当的惶恐向门格尔说，我在他的书中发现了一些错误. 令我惊讶的是，他很高兴，并让我把我的清单给他. 从那天起, 虽然我只是个本科生, 他待我更像同事而不是学生.

不用说，这对我产生了巨大的影响. 当时我并不知道门格尔是一位世界级的数学家，但我知道他至少有点名气，因为 芝加哥论坛报 写过一些关于他努力改进记数法和微积分教学的文章吗. 如果我没记错的话，他从, 我相信是克莱斯勒公司, 为此目的. 他用改进后的严格的符号写了一本微积分书.

我对门格尔的另一个生动的记忆是他的一次学术讨论会，题目是

x的积分dx等于y的积分dy吗 ?

他的回答是:不! 这是基于这样一个事实，即字母x通常用来表示恒等函数，而字母y通常用于表示其他函数. 常常没有解释. 读者必须从上下文中找出这些东西. 这就是他在他的微积分书中试图澄清和严谨的东西. 另一个是dy/dx符号，特别是无意义的符号

dy / dx = (dy / dt) (dt / dx)

现在很多微积分书上还在用哪一种. 不幸的是，门格尔在微积分中给出清晰而严格的定义和符号的努力失败了. 尽管制作了一本优秀的书，但没有得到广泛使用.

现在简单介绍一下那些年的印度理工学院. 1959年1月，我提前一个学期毕业, Reingold, 数学系的系主任, 给了我三分之一的助教奖学金让我教大学代数, 我得了D的那门课! 我欣然接受了这一点，没有意识到自己被利用了. 那时候学费很高，而且这是一个五小时的课程. 我被指定全权负责这门课. 虽然一位资深教授名义上是我的导师但我和他唯一的互动是在走廊上走着的时候他拦住我说:“我知道你教的是集合论”我回答说:“是的”. 这是我们整个学期唯一一次互动. 这位资深教授是谁，威尔考克斯 ! 如果他记得三年前这门课给了我D，他也从来没提过.

“集合论”是如何进入我的大学代数课程的? 在第一周，我发现我的学生可以做书上所有的题，而且有些人做的比我还快. 所以我决定, 没有咨询过我的上司或其他人, 完全无视课本，教授集合论.

在那些年, 在伊利诺伊大学芝加哥分校成立之前，在西北大学设立工程学院之前，IIT吸引了来自最好的郊区学校的最优秀的学生. 这些学生在高中时学过大学代数，可能是在同一本书上学的. 他们学得很好.

So, 而不是做大多数教授所做的事情:通过这本书并进行考试，而不是测试学生解决问题的能力，而是他们解决问题的速度. 这给了教授们一些区分成绩的方法，A、B、C等.

我决定用我自己的笔记来教授集合论，而不是课本. 结果很好. 虽然材料是初级的，学生们发现它具有挑战性，但不是太有挑战性. 他们学会了做证明! 集合理论和证明能力都是所有数学和许多其他事物的基础. 这就是我如何证明——对我自己来说——使用集合论并感觉良好的原因，我现在仍然感觉良好.

2006年从退休教授的角度回顾, 作为一名刚毕业的研究生，我竟然可以自己做决定，这让我感到震惊, 没有咨询任何人, 完全无视指定的课本，教一些与我自己的笔记完全不同的东西，而不会受到教师或学生的任何抱怨! 毫无疑问，我从与门格尔和我在印度理工学院的其他一些教授的交流中获得的信心对我帮助很大.

哦，一切都变了!!

卡尔·门格尔是一个不寻常的、丰富多彩的人物. 他是一位来自奥地利的杰出难民，是一位广受赞誉的神童，也是一位著名音乐家的儿子. 1938年，当他访问美国时.S., 纳粹占领了奥地利，他通过辞去维也纳的学术职位来表达对新秩序的反应. 门格尔有很重的德国口音. 他的头发通常是乱蓬蓬的, 他那有限的衣橱总是皱巴巴的，他每天都戴着一条难看的领带, 斑点和所有. 但他是一位极具创新精神的老师，他改革了微积分的教学.

Karl Menger was a demonstrative teacher; he was like a maestro conducting an opera of mathematics in the lecture hall. 大约有100名学生参加了他的课程, seated in a stadium theater arrangement; the lectures being supplemented 与 smaller study workshops tutored by his teaching assistants. 演讲厅的前墙上挂着八幅很大的画, 长方形的黑板，教授会在上面快速地填满定理和公式, 用断断续续的快速演讲来强调书面材料. 这是纯粹的戏剧.

现在，门格尔有一种从演讲厅的一边走到另一边的倾向. 为了限制他不断变换位置的范围, 他明智地在黑板的两端各放了几把椅子. 然而，他还有一个问题. 黑板的大表面, 再加上他的快速写作能力和填表能力, 他必须不断地进行单调乏味的擦除表面的工作，这样他才能重新开始这个过程.

有一天,, Menger entered the lecture hall 与 several oversized erasers; they seemed to be about one by two feet in size. 他宣称，这些橡皮是他定制的，这样他只需猛击几下，就能把黑板恢复到空白状态.

门格尔有在考试中加入额外学分问题的传统. 在一次关键的期末考试中, 微积分我, 我完成了常规考试和额外的部分. 为了让学生获得他们的考试成绩和课程的最终成绩, 按照惯例，要给老师寄一张写有自己地址的明信片. 我这样做了，并收到了我做得很好的批注, 这, 事实上, 我得了A*, 也被称为A-Star. 门格尔教授, 谁的怪癖是众所周知的, 添加手写评论, “为什么我不能经常见到你呢??就好像我一年多来都没有虔诚地坐在他的课堂上一样.

故事并没有就此结束. 门格尔坚持要求学校管理层承认他的“A*”成绩高于A，并在4分的基础上再加1分.0 (A的点值为3). 这个额外的分数平衡了我在物理上的B，因此我在1948-1949学年的第一学期保持了平均成绩A. 门格尔赢得了他的论点，我一定是有史以来第一个获得最高分数的印度理工学院学生.

我在那里发现了充满活力的学术氛围，这主要归功于卡尔·门格尔, 帕斯奎尔·波切利和他们的学生.

门格尔非常关心教育改革. 他深深地感到, 就像我过去和现在一样, 良好的微积分基础对未来的数学家和将来使用数学的人都很重要, 尤其是工程和科学专业的学生. 他在微积分教学方面具有革命性的思想，许多思想都体现在他的微积分书中. 他的天性使他不会因任务的艰巨性而气馁. 他喜欢问“x是什么?,这让人想起了微积分公式中“变量”的脆弱本质. 他的许多观点和50年前一样新鲜和引人注目. 自那时以来，在这个方向上没有取得太大进展, 但有时候好主意确实需要很长时间.

门格尔是倡导函数系统的代数性质的先驱，其中组合是一种操作. 他坚持恒等函数, 作文下有个名字, 指出这是代数中常见的做法. 他主张用“j”表示恒等函数，在复合下，表示实线上的函数. 从那时起，我就采用了这种符号，但这使我成为极少数人.

门格尔总是出席部门的会谈. 他经常看起来很放松(实际上是睡着了)。, 但他在演讲结束时提出了一些尖锐的问题，这是很普遍的. 我问过的每个演讲者都证实，他的问题表明他完全掌握了这次演讲. 这当然是我所做的演讲的情况. 门格尔对研究和教学的热情是该系生活的主要源泉. 我们都意识到我们正站在一个数学传奇面前, 但同样令我印象深刻的是，他对各个层次学生的关心. 我在研究生院的两位教授都是教育改革的强烈倡导者，门格尔和他们的影响使我一生都在倡导教育改革.

1957年1月，我来到威尼斯人平台担任讲师，当时我刚刚获得博士学位.D. 从R. L. 摩尔. 我知道门格尔教授，也很尊敬他，很想见到他. 我刚到系里，就被告知他脾气暴躁，无论我做什么，都不能批评他的微积分书.

我到达后不久就见到了门格尔教授，发现他很外向，很友好，这与我听说的正好相反. 我们经常在他的办公室见面讨论数学. 有一天，他以他一贯的极快的速度说话，用他的口音提到了一个听起来像“无差异功能”的东西.在让他重复了几次之后，我终于明白他说的是一个无处可微的函数, 我问他那是什么意思. 他解释了一下，并想给我举个例子. 我拒绝说我愿意解决这个问题. 第二天，他耐心地坐着听我讲课, 据我回忆, 一个非常复杂的平面弧线的例子以及它的参数化使得参数化的函数无处可导. 我确信我的解释花了一个多小时. 在我的演讲结束后，他问我是否可以给我举一个简单的例子，他在几分钟内就给我看了.

我们成了好朋友，他经常打电话到我的公寓问问题或讨论数学. 他提出了一个问题, 我解决了这个问题, 他想让我把它提交给《基础数学, 但我拒绝了，说我觉得这太简单了. 随着夏天的临近，他提出如果我能写好我的证明并提交，他就从他的一笔拨款中付给我钱. 我接受了他的提议，这让我可以在夏天自由地做研究. 这个问题的解决方案成了我的第一篇论文. 最近我偶然看到了那篇论文的副本，我很难理解我做了什么.

我记得有一次，我在他上课的教室外面等着和他说话. 我看着他快速地讲课，一遍又一遍地填满黑板. 他继续说，直到下课铃响了，才有人离开，没有人离开. 最后，他离开了教室，学生们分成两组或一组跟着他，兴致勃勃地谈论着他们刚刚听到的内容. 作为R的学生. L. 摩尔, 我几乎从不讲课, 但这让我相信门格尔通过讲课让他的学生对数学感兴趣，就像摩尔用他的方法让学生对数学感兴趣一样.

最后，我要说的是，我对他的书提出了严厉的批评. 我声称他所做的是引入了一种符号，让学生们可以像使用标准符号一样，做一些不需要动脑的操作，但在数学上是精确的. 他声称，无论学生理解得好不好，他们所做的事情都要准确无误，这一点很重要. 我们花了许多愉快的时间争论这些问题. 我现在更明白他的意思了.

我珍惜我对卡尔·门格尔教授的记忆.

作为印度理工学院的数学专业学生(60 - 64)，我只上过一门由李博士指导的课程. 门格尔:“门格尔微积分.“那是一门夜校, 主要提供给实习工程师和其他白天受雇的人. 指令提供了一个独特的几何图形, 而不是理论, 探讨微积分的概念, 所有这些都以一种非常易懂的方式呈现. 作为一名40多年的数学教育家，我一直在使用这种哲学方法(先具体后理论).

与卡尔·门格尔接触而不受他的影响是不可能的. 他散发着优秀的古老的欧洲自由主义价值观和持续的启蒙运动. 你不会马上意识到, his values became partly your own; also his mannerisms and his ways of teaching were subconsciously absorbed.

我不记得曾经和他开过关于课程材料的会议, 除了在少数情况下，我认为一个假设需要调整或想要狡辩, 我不认为他会欢迎今天人们对教师普遍期望的那种辅导. 但他的大门总是对各种思想的讨论敞开着, 如果你足够幸运，有一个新颖的想法, 然后他会用他的热情让你难堪. “你必须把它写下来!他会坚持说，他的口音很重，r音发得很扭曲.

他非常善良，经常邀请他的学生到他家或他家附近他最喜欢的瑞典餐馆. 有时社会方面是为了教育的目的而不是数学, 和艺术, 音乐, 或者讨论哲学. 我们偶尔会出去看一幅画或一块彩色玻璃.

他喜欢英语, 他想, 太, 他热爱美国的民主, 没有完全适应其中任何一个. 就像许多战时欧洲移民一样, he was until his death neither fish nor fowl; for it also would have also been impossible for him successfully to return to Vienna. 这出戏 Heldenplatz 伟大的奥地利作家托马斯·伯恩哈德描述了一位威尼斯人平台, 和门格尔没什么不同, 是谁做的尝试?, 带来灾难性的后果.

一想到卡尔·门格尔，我就不可能同时想到贝特霍尔德·施韦泽. 从50年代中期开始, IIT, 施韦泽成为门格尔的延伸和完善, 他的“lieblingsstudent,他将在门格尔和门格尔早期的学生亚伯拉罕·沃尔德的工作基础上继续发展, 在非常重要的方面, 特别是在概率几何领域. 一想到施韦泽，就不可能同时想起亚伯·斯克拉. 他们三人组成了一个星座，一直持续到门格尔去世. 施韦泽和斯克拉也对学生产生了很大的影响，与门格尔形成了互补.

最后, 门格尔的合作者弗朗茨·阿尔特计划出席追悼会，这是件好事. 阿尔特和门格尔, 和Otto Schreiber一起, 描述了射影和仿射几何的新基础. 这项工作随后被纳入其概括, 晶格理论, 并吸引了加勒特·伯克霍夫和约翰·冯·诺伊曼的后续贡献.

我已经习惯了精心准备的即兴发言, 我想提供一些关于Menger在IIT的个人回忆.

In 1949,保罗Schilpp, 西北大学的哲学家, 出版了一本书《阿尔伯特·爱因斯坦:哲学家》 & “科学家”在爱因斯坦70岁生日之际. 它包含25篇评论爱因斯坦工作各个方面的文章. 作为芝加哥大学的物理学研究生, 在50年代读这本书, 我当然认得像索默菲尔德这样的名字, 德布罗意, 泡利不相容, 玻尔也是贡献者之一. 但我从未听说过卡尔·门格尔，他写过一篇文章《威尼斯人官网平台》.“没关系. 这是非常清楚的, 简洁的, 优雅的, 有益的, 和有趣的论文包含许多原创的想法. 门格尔说，他的两个建议确实产生了“巨大”影响, “我冒昧地猜想, 对于物理的几何化, 尤其是微观世界的物理学, 与欧几里得截然不同的理想化可能比他的更充分. 一个这样的替代方案是一个几何体，其中点不是主要实体. 这里所考虑的是一种块状几何, 一种理论，其中块是未定义的概念, 鉴于点的出现是应用于这些块的限制或交叉过程的结果，这里指出了另一种可能性, 即, 引入概率空间，其中每一对元素都与一个分布函数而不是一个确定的数字相关联.“爱因斯坦, 在他的答辩中, 提到了门格尔的观点(对连续体本质的怀疑), 但警告说, “只要一个人没有新的概念，似乎有足够的建设性力量, 仅存疑问. 坚持连续统一体源于我，而不是出于偏见, 而是因为我想不出任何有机的东西来代替它.”

60年过去了, 很明显，门格尔和爱因斯坦有一个预言性的洞察力:概率度量空间在沃尔德的手中已经从一个“可能性”发展成为一个蓬勃发展的数学分支, 施魏策尔, Sklar和其他人. 和, 当然, 我们都知道物理学的弦和环理论只不过是门格尔块的化身. 无视爱因斯坦的警告，即缺乏纪律约束指导的概括没有建设性的力量，是当前弦形式主义的根本缺陷. 在门格尔文章的最后, 小字, 有一个地址，伊利诺伊理工学院, 芝加哥.“我也从来没听说过. 但很快我就从57街和埃利斯街(Ellis)找到了路，来到了33街和State街(按照GPS的说法就是3308 South Federal街)。在一栋“Hunersteige”(维也纳的老俚语，指非常不起眼的建筑)的三楼，我发现了一间小得令人难以形容的不整洁的办公室，门格尔的活力让它充满了活力. 我们一下子就合得来了. 那天晚上，我给住在华盛顿特区的大学老朋友伯特·施韦泽打了个长途电话.C., 劝他忘掉在海军研究实验室的苦差事, 来到芝加哥成为门格尔的研究生. 伯特就是这么做的. 我们没有人怀疑这是正确的做法, 这是一段非常快乐和富有成效的时光的开始. 最终, 当然，我也来到了印度理工学院，加入了门格尔的圈子, 但那是另一个故事了!

门格尔在他生命的最后几年里成了我的好朋友和导师, 当时他已经不在印度理工学院教书了. 这一切始于我邀请他到本尼迪克特大学(我在那里做了30年的数学教授和教务长)演讲。. 那次活动结束后不久，他来到我在林肯公园的公寓，与我的几个本科生见面并进行了非正式的交谈. 然后他邀请我帮他把他的一些作品翻译成英文. 我的工作是建议如何把他正确的表达变成流畅的语言! 我们花了许多个夏天的下午谈论他的长句子和他对各种问题的思考的实质, 不仅是数学，还有伦理学和经济学. 他与维也纳圈子成员的亲密经历令人着迷. 他说英语时总是带着口音, 这是他哀叹的事实, 经常用这样一句话来说明这种个人失败:“我最担心的是像工作这样的词!”

他喜欢在特别的餐馆吃饭, 尤其是在最不起眼的餐厅和最好的餐厅品尝创意美食. 他最喜欢的是安德森维尔的一些，他当时住在那里. 当我六岁的侄孙女来看我的时候, 门格尔为她准备了一份他确信她从未吃过的食物:白巧克力.

我怀念门格尔作为一个亲爱的、关心我的朋友在我生命中的存在, 慷慨地投资于朋友的朋友, 一个拥有罕见能量储备的朋友, 一个喜欢有智慧的谈话和有创意的事业的朋友.

作为博士的研究生. Erber在1965年, 他布置了下面的问题, "利用洛伦兹位置时间变换, 当系统k以相对论速度运动时，求出系统k中相对速度和相对加速度的定律. 埃伯在课堂上简要介绍了门格尔的“微积分新方法”，并提供了一份概述门格尔开发的符号的讲义.

大四的时候，我上了门格尔的夜校课，所以我熟悉了这种写函数符号和微分符号的“新”方法. 我在一个深夜(早上)的会议中完成了这个问题，使用了19张纸和钢笔——没有涂改液, 丢弃的表, 或者划掉. 一旦计算开始, 每一个子计算都会引出下一个，计算出来的结果不可能混淆.

1967年至1974年在奥罗拉学院(现为奥罗拉大学)任教, 在奥罗拉, 伊利诺斯州), 我在物理专业的数学课上加入了为期一周的门格尔微积分介绍.

许多年前, 就在威尼斯人平台采用了学生“荣誉制度”之后,“我们和门格尔教授进行了期末考试. 他启动了诉讼程序, 用他那美妙的奥地利口音告诉我们，他一直无法决定是给我们班进行笔试还是口试. 每个人都明白，这并不重要，因为门格尔非常了解他所有的学生，知道他们理解什么，不理解什么.

“好，好，好，现在，”他开始说. “我们必须进行投票. 都赞成”等等. (“Noja”是一个德语表达，可以翻译成“现在让我们看看”.在这句著名的表达之后，又加上了一句英语“嗯，很好，现在。.换句话说，我们已经准备好开始了.)不幸的是，书面和口头的投票结果正好是50比50. 答案当然是:“嗯，我们得考两次. 所有参加笔试的人请到隔壁房间去好吗.“我喜欢和门格尔交谈，所以我选择了口试.

As, 因此, 一半的学生坐在那里和门格尔讨论复杂的变分法, 隔壁谈话的噪音越来越明显了.

门格尔唯一的反应是? “嗯，他们肯定也换成了口语! 你们谁去隔壁叫他们安静点好吗.”

门格尔教授的一些记忆与他对符号的关注有关. 我记得有一次这样的事情，他的观点是如此正确，以至于我永远无法理解为什么不是每个人都应用他的观点.

考虑如下形式的函数 f[(x, g(x, y)].

这里的偏导数∂f/∂x?

它是指的导数吗 f 对第一个变量求导 x 持有 g 常数，还是整个偏导数，包括的变化 g 与 x 就这样坚持着 y 常数? 使用普遍应用的∂符号，没有办法知道.

Menger建议我们应该使用下标而不是含糊的∂表示法. 因此，的导数 f 对第一个变量求导 x 表示为 f1(x, g).

另一方面，第二种解释将被写成 f1(x, g) + f2(x, g) * g1(x, y).

有了这个符号，就不会有歧义了.